NanoMatma Darmowa lekcja

Szereg geometryczny

Dodajesz nieskończenie wiele liczb, a wynik wychodzi skończony. Brzmi jak sztuczka, ale to zwykła konsekwencja tego, że składniki kurczą się dostatecznie szybko. Poniżej: skąd się bierze wzór, kiedy wolno go użyć i pięć zadań rozwiązanych krok po kroku.

  • PoziomSzkoła średnia, rozszerzenie
  • DziałAlgebra, ciągi
  • Czas czytaniaokoło 9 minut

O co w tym chodzi

Ciąg geometryczny to taki, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez tę samą liczbę. Tę liczbę nazywamy ilorazem i oznaczamy q. Na przykład w ciągu 4, 2, 1, 1/2 każdy wyraz jest połową poprzedniego, więc q = 1/2.

Szereg geometryczny to suma wszystkich wyrazów takiego ciągu. Nie pierwszych dziesięciu ani stu, tylko wszystkich, w nieskończoność:

a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ...

Pierwsza reakcja jest zwykle taka: skoro składników jest nieskończenie wiele, to suma musi być nieskończona. Nieprawda. Jeśli wyrazy maleją dostatecznie szybko, to kolejne dokładają coraz mniej i całość zatrzymuje się na konkretnej liczbie.

Kwadrat o polu 1 podzielony na prostokąty o polach jedna druga, jedna czwarta, jedna ósma i tak dalej. Każdy kolejny kawałek jest dwa razy mniejszy od poprzedniego, a wszystkie razem wypełniają cały kwadrat. 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 pole całego kwadratu = 1
Weź kwadrat o polu 1 i odcinaj za każdym razem połowę tego, co zostało. Dostajesz kawałki o polach 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 i tak dalej. Choćbyś ciął bez końca, nigdy nie wyjdziesz poza kwadrat, a biała reszta robi się dowolnie mała. Dlatego 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1.

To nie jest przybliżenie ani zaokrąglenie. Suma tego szeregu jest dokładnie równa 1. Słowo „dokładnie” ma tu sens graniczny: żadna skończona liczba kawałków nie wypełni kwadratu, ale braki da się zmniejszyć poniżej dowolnie małej wartości, jaką wymyślisz.

Kiedy szereg ma sumę

O wszystkim decyduje iloraz. Jeśli |q| jest mniejsze od 1, mnożenie przez q za każdym razem zmniejsza wyraz, więc składniki dążą do zera i suma się stabilizuje. Taki szereg nazywamy zbieżnym. W przeciwnym razie wyrazy nie maleją, suma rośnie bez końca albo skacze, i szereg jest rozbieżny.

Warunek zbieżności

Szereg geometryczny ma sumę wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1, czyli gdy q leży w przedziale (-1, 1). Dodatkowo przyjmujemy a1 różne od zera, bo dla a1 = 0 cały szereg to same zera.

q = 0,55 wyrazy znikają, suma się zatrzymuje q = 1,35 wyrazy rosną, suma ucieka w nieskończoność
Ten sam pierwszy wyraz, dwa różne ilorazy. Po lewej słupki znikają i suma ma gdzie się zatrzymać. Po prawej każdy kolejny jest większy od poprzedniego, więc nie ma mowy o żadnej sumie.
Cztery szeregi i ich los
SzeregIlorazZbieżnośćSuma
1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ... q = 1/3 zbieżny S = 3/2
5 - 5/2 + 5/4 - 5/8 + ... q = -1/2 zbieżny S = 10/3
1 + 2 + 4 + 8 + ... q = 2 rozbieżny sumy rosną bez końca
7 + 7 + 7 + 7 + ... q = 1 rozbieżny nic nie maleje

Zwróć uwagę na trzeci wiersz od dołu. Dla q = 1 wyrazy w ogóle się nie zmieniają, więc dodajesz tę samą liczbę w nieskończoność. Dla q = -1 suma skacze między dwiema wartościami i nigdy się nie ustala. Oba przypadki są rozbieżne, choć z różnych powodów.

Wzór i skąd się bierze

Wzoru nie trzeba przyjmować na wiarę. Wyprowadza się go w trzech linijkach, a znając wyprowadzenie, nigdy nie pomylisz go ze wzorem na sumę skończonej liczby wyrazów.

  1. Oznacz szukaną sumę przez S i rozpisz ją:

    S = a1 + a1q + a1q2 + a1q3 + ...

  2. Pomnóż obie strony przez q. Każdy składnik przesuwa się o jedno miejsce w prawo:

    qS = a1q + a1q2 + a1q3 + ...

  3. Odejmij drugie równanie od pierwszego. Po prawej stronie kasuje się wszystko poza pierwszym wyrazem:

    S - qS = a1, czyli S(1 - q) = a1

Zostaje podzielić przez (1 - q). Dzielenie jest legalne, bo przy |q| < 1 nawias na pewno nie jest zerem.

Wzór na sumę szeregu geometrycznego

a1 1 - q S

Ważne tylko dla |q| < 1. Poza tym przedziałem wzór nadal coś policzy, ale wynik nie będzie znaczył nic.

Ten sam wynik widać na osi liczbowej. Sumuj wyraz po wyrazie, a kolejne wyniki będą skakać coraz krócej i tłoczyć się tuż pod granicą.

Oś liczbowa z kolejnymi sumami częściowymi szeregu. Każdy kolejny punkt leży bliżej granicy, a odstępy między nimi maleją dwukrotnie. Punkty zbliżają się do granicy, ale nigdy jej nie osiągają. granica S = 2 S1 = 1 S2 = 1.5 S3 = 1.75 S4 = 1.88 0
Szereg 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... Każdy skok jest o połowę krótszy od poprzedniego, a odległość do granicy za każdym razem maleje dwukrotnie: 1, potem 1/2, potem 1/4. Nigdy nie spada do zera, ale schodzi poniżej każdej liczby, jaką wskażesz.

Nie pomyl tych dwóch wzorów

Suma n wyrazów to Sn = a1(1 - qn) podzielone przez (1 - q). Jest w niej qn i działa dla każdego q różnego od 1. Suma szeregu to S = a1 podzielone przez (1 - q), bez qn, i tylko dla |q| < 1. Drugi wzór powstaje z pierwszego, bo przy |q| < 1 potęga qn dąży do zera.

Pięć zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania są rozwijane. Przeczytaj treść, spróbuj sam, a dopiero potem zaglądaj. To jest dokładnie ta kolejność, która uczy najwięcej.

  1. Rozgrzewka

    Zadanie 1Oblicz sumę szeregu 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...

    Pokaż rozwiązanie
    1. Sprawdź, czy to na pewno szereg geometryczny.

      Dzielisz każdy wyraz przez poprzedni: 2/4 = 1/2, potem 1/2 = 1/2 i 0,5/1 = 1/2. Iloraz jest stały, czyli q = 1/2.

    2. Sprawdź warunek zbieżności.

      |q| = 1/2, a to mniej niż 1. Szereg ma sumę, więc można liczyć dalej.

    3. Podstaw do wzoru.

      S = a1 podzielone przez (1 - q), czyli 4 podzielone przez (1 - 1/2), czyli 4 podzielone przez 1/2.

    OdpowiedźS = 8

    Zwróć uwagę: pierwszy wyraz to tylko 4, a suma całej nieskończonej reszty to kolejne 4.

  2. Typowe na maturze

    Zadanie 2Suma szeregu geometrycznego wynosi 9, a jego pierwszy wyraz to 6. Wyznacz iloraz.

    Pokaż rozwiązanie
    1. Zapisz wzór z tym, co wiesz.

      9 = 6 podzielone przez (1 - q).

    2. Pomnóż obie strony przez (1 - q).

      9(1 - q) = 6, czyli 9 - 9q = 6.

    3. Wyznacz q.

      9q = 3, czyli q = 1/3.

    4. Sprawdź warunek zbieżności.

      |1/3| < 1, więc wynik jest sensowny. Bez tej kontroli zadanie bywa niepełne.

    Odpowiedźq = 1/3

    Skrót, który warto znać: z przekształcenia wzoru wychodzi q = 1 - a1/S. Tutaj 1 - 6/9 = 1/3.

  3. Ułamek okresowy

    Zadanie 3Zapisz 0,(36) w postaci ułamka zwykłego, korzystając z szeregu geometrycznego.

    Pokaż rozwiązanie
    1. Rozpisz liczbę na sumę.

      0,(36) = 0,36 + 0,0036 + 0,000036 + ... Każdy składnik jest sto razy mniejszy od poprzedniego.

    2. Odczytaj a1 i q.

      a1 = 36/100, q = 1/100.

    3. Podstaw do wzoru.

      S = (36/100) podzielone przez (1 - 1/100) = (36/100) podzielone przez (99/100) = 36/99.

    4. Skróć.

      36/99 skracasz przez 9 i wychodzi 4/11.

    Odpowiedź0,(36) = 4/11

    Kontrola na kalkulatorze: 4 podzielone przez 11 to 0,363636... Zgadza się.

  4. Z parametrem

    Zadanie 4Dany jest szereg 1 + (x - 2) + (x - 2)2 + (x - 2)3 + ... Dla jakich x szereg jest zbieżny i dla jakiego x jego suma wynosi 2?

    Pokaż rozwiązanie
    1. Zobacz, co jest ilorazem.

      Każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez (x - 2), więc q = x - 2, a a1 = 1.

    2. Zapisz warunek zbieżności.

      |x - 2| < 1, czyli -1 < x - 2 < 1, czyli x należy do przedziału (1, 3).

    3. Zapisz sumę jako funkcję x.

      S(x) = 1 podzielone przez (1 - (x - 2)) = 1 podzielone przez (3 - x).

    4. Rozwiąż równanie S(x) = 2.

      1 podzielone przez (3 - x) = 2, więc 3 - x = 1/2, więc x = 5/2.

    5. Sprawdź, czy wynik mieści się w przedziale.

      5/2 = 2,5, a to leży w (1, 3). Odpowiedź jest poprawna.

    Odpowiedźzbieżny dla x w (1, 3), suma równa 2 dla x = 5/2

    Ostatni krok to najczęstsze miejsce na stratę punktu. Rozwiązanie równania bez sprawdzenia przedziału jest niepełne.

  5. Przez wyraz ogólny

    Zadanie 5W szeregu geometrycznym a1 = 12, a czwarty wyraz wynosi 3/2. Oblicz sumę szeregu.

    Pokaż rozwiązanie
    1. Skorzystaj ze wzoru na wyraz ciągu.

      a4 = a1 razy q3, czyli 3/2 = 12 razy q3.

    2. Wyznacz q3.

      q3 = (3/2) podzielone przez 12 = 1/8.

    3. Wyciągnij pierwiastek sześcienny.

      q = 1/2. Pierwiastek sześcienny ma jedno rozwiązanie rzeczywiste, więc nie ma tu drugiego przypadku.

    4. Policz sumę.

      S = 12 podzielone przez (1 - 1/2) = 12 podzielone przez 1/2 = 24.

    OdpowiedźS = 24

    Gdyby pytanie dotyczyło wyrazu o parzystym numerze, na przykład a3, pojawiłyby się dwa ilorazy: dodatni i ujemny. Przy nieparzystej potędze tak nie jest.

Pięć błędów, które kosztują punkty

  • Liczenie sumy bez sprawdzenia, czy |q| < 1

    Wzór działa wyłącznie dla szeregu zbieżnego. Podstawione q = 2 też coś wyliczy, tylko że ta liczba nie ma żadnego sensu.

  • Mylenie wzoru na sumę szeregu ze wzorem na sumę n wyrazów

    Sn dotyczy skończonej liczby składników i ma w sobie qn. S bez indeksu dotyczy całego nieskończonego szeregu i qn już w nim nie ma, bo znika w granicy.

  • Branie q jako różnicy zamiast ilorazu

    W ciągu arytmetycznym odejmujesz, w geometrycznym dzielisz. Przy 4, 2, 1 iloraz to 1/2, a nie -2.

  • Gubienie minusa przy ujemnym ilorazie

    Dla q = -1/2 mianownik to 1 - (-1/2) = 3/2, a nie 1/2. Nawias przy podstawianiu ratuje przed tym błędem.

  • Zapominanie o dziedzinie w zadaniach z parametrem

    Równanie na sumę może dać liczbę spoza przedziału zbieżności. Taki wynik trzeba odrzucić i napisać dlaczego.

Teraz Twoja kolej

Siedem zadań bez rozpisanego rozwiązania, od najprostszego do takiego z parametrem. Weź kartkę i rób po kolei. Odpowiedź odsłaniaj dopiero wtedy, gdy masz swój wynik, bo porównanie dwóch liczb uczy znacznie więcej niż przeczytanie gotowej.

Zanim zaczniesz

Przy każdym zadaniu wykonaj te same trzy ruchy: znajdź a1, wyznacz q, sprawdź czy |q| < 1. Dopiero potem sięgaj po wzór. Ta kolejność ratuje przed większością błędów z listy powyżej.

  1. Oblicz sumę szeregu 9 + 3 + 1 + 1/3 + ...

    Sprawdź odpowiedź

    q = 1/3, S = 27/2, czyli 13,5

  2. Oblicz sumę szeregu 2 - 1 + 1/2 - 1/4 + ...

    Podpowiedź

    Iloraz jest ujemny. Pilnuj nawiasu w mianowniku: 1 - (-1/2).

    Sprawdź odpowiedź

    q = -1/2, S = 4/3

  3. Pierwszy wyraz szeregu geometrycznego wynosi 5, a suma całego szeregu 4. Wyznacz iloraz i sprawdź, czy szereg jest zbieżny.

    Podpowiedź

    Suma jest mniejsza od pierwszego wyrazu, więc iloraz musi wyjść ujemny.

    Sprawdź odpowiedź

    q = -1/4, a że |q| < 1, szereg rzeczywiście jest zbieżny

  4. Zapisz 0,(7) w postaci ułamka zwykłego.

    Podpowiedź

    a1 = 7/10, każdy następny składnik jest dziesięć razy mniejszy.

    Sprawdź odpowiedź

    0,(7) = 7/9

  5. Dany jest szereg 1 + (2x - 1) + (2x - 1)2 + ... Dla jakich x jest zbieżny? Oblicz jego sumę dla x = 1/4.

    Podpowiedź

    Najpierw rozwiąż |2x - 1| < 1, dopiero potem podstawiaj liczbę.

    Sprawdź odpowiedź

    zbieżny dla x w przedziale (0, 1); dla x = 1/4 iloraz wynosi -1/2, a suma 2/3

  6. W szeregu geometrycznym a1 = 8 oraz a3 = 2, przy czym iloraz jest dodatni. Oblicz sumę szeregu.

    Podpowiedź

    Z q2 wychodzą dwa ilorazy. Warunek w treści wybiera jeden z nich.

    Sprawdź odpowiedź

    q2 = 1/4, więc q = 1/2 (bo dodatni), a S = 16

  7. Suma szeregu geometrycznego wynosi 12, a jego iloraz 1/4. Wyznacz pierwszy wyraz.

    Podpowiedź

    Przekształć wzór: a1 = S(1 - q).

    Sprawdź odpowiedź

    a1 = 9

Wyszły wszystkie siedem? Wróć do tej listy za tydzień i zrób ją jeszcze raz, bez zaglądania w artykuł. Dopiero wtedy będzie wiadomo, że temat został, a nie tylko został zrozumiany. Dlaczego tak, piszemy tutaj.

Utknąłeś na którymś kroku?

Na darmowej lekcji przechodzimy przez Twoje zadanie na żywo i sprawdzamy, czy problem leży w ciągach, czy w przekształcaniu równań. To zwykle da się ustalić w kwadrans.

Umów darmową lekcję Wróć do bloga